Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，梯形的高DH与中位线EF交于点G，则下列结论中：
①△DGF≌△EBH；②S_△DGF：S_△DHC=1：4；③四边形EHCF是菱形；④以CD为直径的圆与AB相切于点E，
其中正确的有

 

（请填序号）．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：根据梯形的性质和DH为梯形的高得到BH=AD=1，则CH=BC-BH=2，再根据梯形的中位线性质得EF∥CH，EF=2，即有EF=CH，于是可判断四边形EHCF为平行四边形，加上CH=CF=2，于是可判断四边形EHCF为菱形；根据菱形的性质得EH=CF=DF，再利用GF为△DHC的中位线得GF=1，所以BH=GF，则可根据“HL”证明Rt△DGF≌Rt△EBH；利用GF∥CH可判断△DGF∽△DHC，根据相似的性质得

S△DGF

S△DHC

=

1

4

；由EF∥BC，AB⊥BC得到EF⊥AB，再根据EF=2，CD=4，F点为CD的中点得到EF是以CD为直径的圆的半径，于是根据切线的判定定理可判断以CD为直径的圆与AB相切于点E．

解答：解：∵AD∥BC，AB⊥BC，DH为梯形的高，
∴BH=AD=1，
∴CH=BC-BH=3-1=2，
∵EF为梯形的中位线，
∴EF∥CH，EF=

1

2

（AD+BC）=2，
∴EF=CH，
∴四边形EHCF为平行四边形，
而F点为CD的中点，
∴DF=CF=

1

2

CD=2，
∴CH=CF，
∴四边形EHCF为菱形，所以③正确；
∴EH=CF=DF，
∵GF为△DHC的中位线，
∴GF=

1

2

CH=1，
∴BH=GF，
在Rt△DGF和Rt△EBH中

GF=BH DF=EH

，
∴Rt△DGF≌Rt△EBH，所以①正确；
∵GF∥CH，
∴△DGF∽△DHC，
∴

S△DGF

S△DHC

=（

GF

CH

）²=（

1

2

）²=

1

4

，所以②正确；
∵EF∥BC，AB⊥BC，
∴EF⊥AB，
∵EF=2，CD=4，
而F点为CD的中点，
∴EF是以CD为直径的圆的半径，
∴以CD为直径的圆与AB相切于点E，所以④正确．
故答案为①②③④．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质、梯形的中位线性质和菱形的判定与性质；会利用“HL”证明直角三角形全等；会运用相似三角形的判定与性质以及圆的切线的判定定理．