Question

如图等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40m的铁栏围成，设AB的长为xm，该花圃的面积为Sm²
（1）求出底边BC的长．（用含x的代数式表示）
（2）若∠BAD=60°，求S与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若墙长为24m，试求S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵AB=CD=x米，
∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米．

（2）如图，
过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°
∴AE=x，BE=x，
同理DF=x，CF=x
又EF=BC=40-2x
∴AD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-x
∴S=（40-2x+40-x）•x=x（80-3x）（0＜x＜20），
当S=93时，-，
解得：x₁=6，x₂=20（舍去）．
∴x=6

（3）由题意，得40-x≤24，
解得x≥16，
结合（2）得16≤x＜20．
由（2），S=-=-
∵a=-
∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．
其对称轴为x=，
∵16＞，由左图可知，
当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，
∴当x=16时，S取得最大值，
此时S最大值=×16²+20×16=128m²．
分析：（1）已知AB=CD=x，则易求BC的值．
（2）第二小题需要辅助线的帮助，作BE、CF分别垂直AD，易求出各边以及梯形高的值．利用梯形面积公式可求出S与x的关系．
（3）求出该函数的对称轴后画图可知x=16时，函数有最大值．
点评：本题考查了二次函数的性质的运用，等腰梯形的性质的运用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查二次函数的运用，运算较复杂，难度偏难．