Question

如图，等边三角形ABC和等边三角形DEC，CE和AC重合，CE=AB．
（1）求证：AD=BE；
（2）若CE绕点C顺时针旋转30度，连BD交AC于点G，取AB的中点F连FG．求证：BE=2FG；
（3）在（2）的条件下AB=2，则AG=______．（直接写出结果）

Answer 1

解：（1）证明：∵三角形ABC和等三角形DEC都是等边三角形，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，CB=CA，
∴△CBE≌△CAD，
∴BE=AD．

（2）证明：过B作BT⊥AC于T，连AD，如图：

∵CE绕点C顺时针旋转30度，
∴∠ACE=30°，
∴∠GCD=90°，
又∵CE=AB，
而BT=AB，
∴BT=CD，
∴Rt△BTG≌Rt△DCG，∴BG=DG．
∵F为AB的中点，
∴FG∥AD，FG=AD，
∵∠BCE=∠ACD=90°，
CB=CA，CE=CD，
∴Rt△BCE≌Rt△ACD．∴BE=AD，
∴BE=2FG；

（3）∵AB=2，
由（2）Rt△BTG≌Rt△DCG，
∴AT=TC，GT=CG，
∴GT=，
∴AG=．
故答案为．
分析：（1）由三角形ABC和等三角形DEC都是等边三角形，得到∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，CB=CA，则△CBE≌△CAD，从而得到BE=AD．
（2）过B作BT⊥AC于T，连AD，则∠ACE=30°，得∠GCD=90°，而CE=AB，BT=AB，得BT=CD，可证得Rt△BTG≌Rt△DCG，
有BG=DG，而F为AB的中点，所以FG∥AD，FG=AD，易证Rt△BCE≌Rt△ACD，得到BE=AD=2FG；
（3）由（2）Rt△BTG≌Rt△DCG，得到AT=TC，GT=CT，即可得到AG=．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质以及三角形中位线的性质．