Question

如图所示，已知：如图，AB是⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠BAE=60°，⊙O的半径为5，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD．根据DE⊥AC，要证明OD⊥DE，只需证明OD∥AE，根据等弧所对的圆周角相等以及等边对等角即可证明一对内错角相等，从而证明两条直线平行，得到垂直；
（2）连接BD，构造直角三角形．能够发现该图中两个30度的直角三角形，进行计算．

解答：（1）证明：连接OD；
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°．
∵D是

BC

的中点，
∴∠1=∠2．
∵OA=OD，
∴∠3=∠2．
∴∠1=∠3．
∴OD∥AE．
∴∠ODE=180°-∠E=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接BD；
∵D是

BC

的中点，∠BAE=60°，
∴∠1=∠2=30°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD=AB×cos∠2=10×cos30°=10×

3

2

=5

3

．
∵∠1=30°，
∴DE=

1

2

AD=

5 3

2

．

点评：掌握证明切线的判定定理：连接圆心和直线与圆的公共点，证明垂直；连接直径，构造直角三角形，也是圆中常见的辅助线之一．