Question

（2012•潮阳区模拟）如图，梯形OABC，AB∥OC，∠B=90°，BC=2，底边OC与x轴重合，点D为BC的中点，且AD⊥OD．
（1）求证：△ABD∽△DCO；
（2）若双曲线y=

k

x

（x＞0）经过点A和点D，求k的值．

Answer 1

分析：（1）在两个直角三角形中证得除去直角外相等的任意一对角相等即可证得两个直角三角形相似．
（2）首先求得A、D两点的纵坐标，然后根据两点均在双曲线上表示出其横坐标，然后利用上题证得的两三角形相似列出比例式即可得到有关k的方程求得k值即可．

解答：解：（1）证明：∵AB∥OC，∠B=90°，
∴∠B=∠DCO=90°，∠1+∠2=90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∴△ABO∽△DCO

（2）解：过点A作AE⊥OC于点E，则四边形AECB是矩形，
∴AE=BC=2，AB=EC
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=

1

2

BC=1
∴A、D两点的纵坐标分别为2和1，
∵点A和点D都在双曲线上，
∴点A、点D的横坐标分别为

k

2

和k，
∴OE=

k

2

，OC=k，
∴AB=EC=OC-OE=

k

2

∵△ABD∽△DCO
∴

AB

DC

=

BD

CO

∴AB•CO=DC•BD
即：

k

2

•k=1×1
解得：k=±

2

∵双曲线在第一象限，
∴k=

2

．

点评：本题考查了反比例函数的综合知识及相似三角形的知识，在代数知识中渗透几何知识是中考的热点考题之一，需要有很强的能力才行．