Question

9．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE=CF，点M、N分别为DE、BF的中点，求证：FM=EN．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AD=BC，∠A=∠C，由SAS证明△DAE≌△BCF，得出DE=BF，再证明四边形DEBF是平行四边形，得出DE∥BF，由已知条件得出ME∥FN，ME=FN，证出四边形MENF是平行四边形，得出对边相等即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△DAE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，AE=FC，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF，
∵点M、N分别为DE、BF的中点，
∴ME∥FN，ME=FN，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴FM=EN．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．