Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是BC上一动点（不与B、C重合），过点D作DE⊥AB，DF⊥AC．
（1）当点D运动到∠BAC的平分线与BC的交点位置时，若BC=12，求DE的长；
（2）求DE、DF与BC的关系，并证明．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）连接AD，先由AB=AC，∠BAC=120°，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠B=∠C=

1

2

（180°-∠BAC）=30°，再根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD=

1

2

BC=6，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到DE=

1

2

BD=3；
（2）先由DF⊥AC，∠C=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到DF=

1

2

CD，又由（1）可知DE=

1

2

BD，BD=CD=

1

2

BC，于是DE+DF=

1

2

BD+

1

2

CD=CD=

1

2

BC．

解答：解：（1）连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=

1

2

（180°-∠BAC）=30°．
∵AB=AC，BC=12，点D运动到∠BAC的平分线与BC的交点位置时，
∴BD=CD=

1

2

BC=6，
∵DE⊥AB，∠B=30°，
∴DE=

1

2

BD=3；

（2）DE+DF=

1

2

BC，理由如下：
∵DF⊥AC，∠C=30°，
∴DF=

1

2

CD，
∵DE=

1

2

BD，BD=CD=

1

2

BC，
∴DE+DF=

1

2

BD+

1

2

CD=CD=

1

2

BC，
∴DE+DF=

1

2

BC．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．