Question

如图，已知抛物线y=ax²+4x+c经过A（2，0）、B（0，-6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，连接AB、AD，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（2，0）、B（0，-6）代入抛物线解析式得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：y=-x²+4x-6，
其对称轴为：x=4，
故点C的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、点C的坐标代入可得：，
解得：，
故直线BC的解析式为y=x-6；

（2）联立直线BC与抛物线的解析式：，
解得：或，
故点D的坐标为（5，），
则S_△ABD=S_△ACD+S_△ABC=AC×D_纵+AC×|B_纵|=．

（3）存在点Q，使得△QAB的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：

A'坐标为（6，0），B（0，-6），
设直线A'B的解析式为：y=mx+n，代入两点坐标可得：，
解得：，
即直线A'B的解析式为y=x-6，
故点Q的坐标为（4，-2）．
即存在点Q的坐标（4，-2）时，使得△QAB的周长最小．
分析：（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式．
（2）求出点D的坐标，然后根据S_△ABD=S_△ACD+S_△ABC进行计算，即可得出答案．
（3）AB长度固定，只需满足QA+QB最小即可，找点A关于对称轴的对称点A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置，求出其坐标即可．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，及利用轴对称求最短路径的问题，解答第二问需要我们将要求图形的面积分割，第三问的关键是利用轴对称的性质得出点Q的位置，难度较大．