Question

3．如图，在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM是弦心距，求OM+AB的最大值．

Answer 1

分析 设AM=x，根据垂径定理得到AB=2x，根据勾股定理列出关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式解答即可．

解答 解：设AM=x，
∵OM是弦心距，
∴AB=2x，
在Rt△AOM中，OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
设OM+AB=a，即$\sqrt{1-{x}^{2}}$+2x=a，
$\sqrt{1-{x}^{2}}$=a-2x，
1-x²=a²-4ax+4x²，
5x²-4ax+（a²-1）=0，
△=（-4a）²-4×5×（a²-1）≥0，即a²≤5，
解得，-$\sqrt{5}$≤a≤$\sqrt{5}$，
则a的最大值为$\sqrt{5}$，即OM+AB的最大值为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是垂径定理的应用以及一元二次方程根的判别式的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．