Question

①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小．
②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．
③你感到存在什么样的规律性？试证明．（请同学们自己画图）
④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的两个底角相等和直角三角形的关系，求出∠M=15°；
（2）直接用（1）中同样的方法可求得∠M=35°；
（3）用一般的式子把求∠M的过程写下来即为规律；
（4）根据等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半，可判断改为钝角成立．

解答：解：（1）∵∠B=

1

2

（180°-∠A）=75°，∴∠M=15°；
（2）同理得，∠M=35°；
（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的垂直平分线与底边BC所夹的锐角等于∠A的一半．
证明：设∠A=α，
则有∠B=

1

2

（180°-α），∠M=90°-

1

2

（180°-α）=

1

2

α．
（4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．

点评：本题考查线段垂直平分线的性质、直角三角形性质及等腰三角形的性质．一般要用到垂直平分线的性质的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．从而结合图形找到这对相等的线段是解决问题的关键．