Question

10、对任意实数x，代数式|x-2|+|x+1|的最小值是

3

．

Answer 1

分析：要化简已知的代数式中的绝对值，考虑x-2与x+1的正负，分四种情况考虑：两式同正；两式同负；-正一负；一负一正，分别求出x的范围，利用绝对值的代数意义化简，即可得到代数式的最小值．

解答：解：当x-2≥0，且x+1≥0，即x≥2，
代数式|x-2|+|x+1|=x-2+x+1=2x-1≥3，即最小值为3；
当x-2≤0，且x+1≤0，即x≤-1时，
代数式|x-2|+|x+1|=2-x-x-1=-2x+1≥3，即最小值为3；
当x-2≤0，且x+1≥0，即-1≤x≤2时，
代数式|x-2|+|x+1|=2-x+x+1=3；
当x-2≥0，且x+1≤0，x无解，
综上，代数式|x-2|+|x+1|的最小值是3．
故答案为：3

点评：此题考查了绝对值的代数意义，即正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的相反数还是0，分类讨论绝对值里式子的正负是解本题的关键．