Question

探究发现：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1）x²-2x=0（2）x²+3x-4=0（3）x²-5x+6=0

方  程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
（1）
（2）
（3）

（1）请用文字语言概括你的发现．
（2）一般的，对于关于x的方程x²+px+q=0的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=

-p

，x₁•x₂

q

．
（3）运用以上发现，解决下面的问题：
①已知一元二次方程x²-2x-7=0的两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂的值为

B

A．-2     B．2     C．-7     D．7
②已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的两根，试求（1+x₁）（1+x₂）和x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析：（1）求出三个方程的解，把已知的表格补充完整，根据表格中的数字得到一元二次方程的两个根之和为一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积为常数项与一次项系数的商；
（2）找出方程中a，b及c的值，根据发现的规律，即可填写出一般性的结论；
（3）①找出方程的a，b及c的值，代入结论中计算即可得到x₁+x₂的值；
②找出方程的a，b及c的值，求出x₁+x₂与x₁x₂的值，然后将所求的第一个式子利用多项式乘以多项式的法则计算后，重新结合，将得出的x₁+x₂与x₁x₂的值代入可求出值，将第二个式子恒等配方后，把x₁+x₂与x₁x₂的值代入可求出值．

解答：

方  程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
（1）	0	2	2	0
（2）	1	-4	-3	-4
（3）	2	3	5	6

解：（1）一元二次方程的两个根之和为一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积为常数项与一次项系数的商；
（2）关于x的方程x²+px+q=0的两根为x₁、x₂，
∵a=1，b=p，c=q，
则x₁+x₂=-

b

a

=-p，x₁•x₂=

c

a

=q；
（3）①一元二次方程x²-2x-7=0的两个根为x₁，x₂，
∵a=1，b=-2，
∴x₁+x₂=-

b

a

=2；
②x₁，x₂是方程x²-x-3=0的两根，
∵a=1，b=-1，c=-3，
∴x₁+x₂=-

b

a

=1，x₁x₂=

c

a

=-3，
则（1+x₁）（1+x₂）=1+（x₁+x₂）+x₁x₂=1+1-3=-1；x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+6=7．
故答案为：（2）-p；q；（3）①B

点评：此题考查了根与系数的关系，是一道结论探究型题，要求学生由特殊到一般，总结出一般性的结论ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac≥0，即方程有解时，设此时方程的两个根为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．