Question

如图，已知抛物线y=x²-（m²-2）x-2m与x轴交与点A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交与点C，且满足．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若点M是这条抛物线对称轴上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）根据图示知，该抛物线与y轴的交点C在y轴的负半轴上，则-2m＜0，即m＞0．
∵抛物线y=x²-（m²-2）x-2m与x轴交与点A（x₁，0），B（x₂，0），
∴令y=0，则x²-（m²-2）x-2m=0．
根据韦达定理，得x₁+x₂=m²-2，x₁•x₂=-2m，
∴===，即（m+2）（m-1）=0
解得，m=-2（不合题意，舍去），或m=1．
∴该抛物线的解析式是：y=x²-（1²-2）x-2×1=x²+x-2，即y=x²+x-2；

（2）由（1）知，抛物线的解析式是y=x²+x-2，则该抛物线的对称轴x=-．
∵点M是这条抛物线对称轴上的一个动点，
∴MA=MB，
∴MC+MB=MA+MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MC+MB的值最小．
∴连接AC交x=-于点M，则M即为所求的点．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）．∵A（-2，0），C（0，-2），
∴，
解得，，
则直线AC的解析式为y=-x-2．
令x=-，则y=-1×（-）-2=-，
∴M（-，-）．
分析：（1）根据关于x的一元二次方程x²-（m²-2）x-2m=0的根与系数的关系求得x₁+x₂=m²-2，x₁•x₂=-2m，然后将其代入已知等式中列出关于m的方程，通过解方程即可求得m的值；
（2）如图所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而求出点M的坐标．
点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、轴对称-最短路线问题等知识点，属于代数几何综合题，有一定的难度．