Question

如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长交AD的延长线于点F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点P．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若CP=2，PF=8，求AC的长；
（3）过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知△DHG是等边三角形；设等边△ABC、△BDC、△DHG的面积分别为S₁、S₂、S₃，试探究S₁、S₂、S₃之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OB，只要证明∠OBE=90°即可求解；
（2）连接PB，易证∠CPB=∠CBF，则可以得到△CPB∽△CBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得证；
（3）作出DG与GH，易证AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根据平行线分线段成比例定理即可得证．

解答：（1）证明：连接OB，由题意得，
∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠OBC=30°∠CBE=60°，
则∠OBE=90°，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：连接PB，
∵∠A=∠60°
∴∠CPB=120°，
∵∠CBF=120°，
∴∠CPB=∠CBF，
∵∠BCF=∠BCP，
∴△CPB∽△CBF，
∴

CP

CB

=

CB

CF

即CB²=CP•CF
∵AC=CB
∴AC²=CP•CF，
∵CP=2，PF=8，
∴AC=

80

=4

5

；

（3）解：根据题意，作出DG与GH，
由题意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG
∴

AB

BD

=

CE

EG

=

BD

DH

∵

S1

S2

=（

AB

BD

）²

S2

S3

=（

BD

DH

）²
∴

S1

S2

=

S2

S3

，即S₂²=S₁•S₃
∴所求的数量关系是S₂²=S₁•S₃．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．