Question

如图，?ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=，AO=3，BO=1．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求?ABCD的周长．

Answer 1

解：（1）∵AB=，AO=3，BO=1，
∴AB²=10=AO²+BO²=9+1，
∴△AOB为直角三角形，∠AOB=90°，
∴AC⊥BD；
（2）由（1）知AC⊥BD，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形），
∴AB=BC=CD=DA，
∴?ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=4AB=4．
分析：（1）根据勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，继而得出AC⊥BD；
（2）根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可知AB=BC=CD=DA，继而即可求出?ABCD的周长．
点评：本题考查菱形的判定与性质及勾股定理的逆定理，解题关键是首先根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形，难度一般．