(2013•历城区三模)如图.在平面直角坐标系中.直线y=kx+n与抛物线y=ax2+bx-3交于A两点.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点.过点P作x轴的垂线交直线AB于点C.作PD⊥AB于点D．(1)求直线与抛物线的解析式．(2)设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长.并求出线段PD长的最大值,②连结PB.线段PC把△PDB分成两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•历城区三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+n与抛物线y=ax²+bx-3交于A（-2，0）、B（4，3）两点，点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求直线与抛物线的解析式．
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）将A与B坐标代入y=kx+n中求出k与n的值，确定出直线解析式；将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）①设直线AB与x轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；
②存在，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，表示出DF与BG，进而表示出三角形DCP面积与三角形BCP面积，根据面积之比为9：10列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．

解答：

解：（1）将A（-2，0），B（4，3）代入直线y=kx+n中，得：

-2k+n=0

4k+n=3

，
解得：

n=1

，
∴直线解析式为y=

x+1；
将A（-2，0），B（4，3）代入抛物线解析式y=ax²+bx-3得：

4a-2b-3=0

16a+4b-3=3

，
解得：

b=-

，
∴抛物线解析式为y=

x²-

x-3；

（2）①∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO，
对于直线y=

x+1，令y=0，得到x=-2，即AO=2，令x=0，得到y=1，即OE=1，
根据勾股定理得到AE=

，
∴sin∠ACP=sin∠AEO=

，
将x=m代入直线解析式得：y=

m+1；代入抛物线解析式得：y=

m²-

m-3，
∴CP=（

m+1）-（

m²-

m-3）=-

m²+m+4，
∴DP=CP•sin∠ACP=（-

m²+m+4）×

（m-1）²+

，
∵-

＜0，
∴当m=1时，DP的最大值为

；
②存在，
过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，
∵sin∠ACP=

，
∴cos∠ACP=

，
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=

×（-

m²+m+4）×

（m²+2m-8），
又∵BG=4-m，
∴

S△DCP

S△BCP

DF•CP

BG•CP

(m2+2m-8)

4-m

m+2

，
当

S△DCP

S△BCP

m+2

时，解得：m=

；
当

S△DCP

S△BCP

m+2

时，解得：m=

．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．

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