Question

如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？

Answer 1

分析：虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸．关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．

解答：解：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，
连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，
则PD∥BB′且PD=BB′，
于是PDBB′为平行四边形，故PD=BB′．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短．

故桥建立在PD处符合题意．

点评：此题考查了轴对称---最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．