Question

抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点C，顶点为D，以BD为直径的⊙M恰好过点C．
（1）求顶点D的坐标（用a的代数式表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）（方法一）由题意：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴点C（0，-3a），D（1，-4a），
（方法二）由题意：，
解得．
∴y=ax²-2ax-3a（下同方法一）；

（2）（方法一）过点D作DE⊥y轴于点E，易证△DEC∽△COB
∴∴
∴a²=1．
∵a＜0，
∴a=-1．
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
（方法二）过点D作DE⊥y轴于点E，过M作MG⊥x轴于点G，
设⊙M交x轴于另一点H，交y轴于另一点F，可先证四边形OHDE为矩形，则OH=DE=1，再证OF=CE=-a，
由OH•OB=OF•OC得：（-a）（-3a）=1×3，
∴a²=1；（下同法一）

（3）符合条件的点P存在，共3个
①若∠BPD=90°，P点与C点重合，则P₁（0，3）（P₁表示第一个P点，下同）
②若∠DBP=90°，过点P₂作P₂R⊥x轴于点R，
设点P₂（p，-p²+2p+3）
由△BP₂R∽△DBH得，，
即，
解得或p=3（舍去）
故
③若∠BDP=90°，设DP₃的延长线交y轴于点N，可证△EDN∽△HDB，
求得EN=，
∴N（0，）．
求得DN的解析式为，
求抛物线与直线DN的交点得P₃（），
综上所述：符合条件的点P为（0，3）、、（）．
分析：（1）点A（-1，0）和B（3，0）一定关于抛物线的对称轴对称，因而函数的对称轴是x=1，把x=1代入抛物线的解析式就可以求出D的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，易证△DEC∽△COB，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出a的值．从而求出抛物线的解析式；
（3）本题应分∠BPD=90°，∠DBP=90°，∠BDP=90°三种情况进行讨论．第一种情况P就是满足条件的点．
第二种情况中，过点P₂作P₂R⊥x轴于点R，由△BP₂R∽△DBH就可以求出．
第三种情况，设DP₃的延长线交y轴于点N，可证△EDN∽△HDB，求出直线DN的解析式，就可以求抛物线与直线DN的交点．
点评：本题是二次函数与圆以及相似三角形相结合的题目，难度较大，利用数形结合有利于对题目的理解．