Question

选做题：
题乙：已知关于x的一元二次方程x²-2kx+k²+2=2（1-x）有两个实数根x₁、x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x₁、x₂满足|x₁+x₂|=x₁x₂-1，求k的值．

Answer 1

解：（1）方程整理为x²-2（k-1）x+k²=0，
根据题意得△=4（k-1）²-4k²≥0，
解得k≤；
（2）根据题意得x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²，
∵|x₁+x₂|=x₁x₂-1，
∴|2（k-1）|=k²-1，
∵k≤，
∴-2（k-1）=k²-1，
整理得k²+2k-3=0，解得k₁=-3，k₂=1（舍去），
∴k=-3．
分析：（1）先把方程化为一般式得到x²-2（k-1）x+k²=0，根据根的判别式的意义得到△=4（k-1）²-4k²≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²，则|2（k-1）|=k²-1，利用（1）的k的范围去绝对值后解方程得到k₁=-3，k₂=1，然后根据（1）中k的范围确定k的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．