Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若点E是劣弧上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，BD=2，求出AE的值．

Answer 1

（1）证明：连接OB 如图1
∵AB=AD=AO，
∴∠DBA=∠D，∠ABO=∠AOB，
∵∠DBA+∠D+∠ABO+∠AOB=180°，
∴∠DBA+∠ABO=90°，
∴OB⊥BD，
∵点B在⊙O，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：过点B作BH⊥AE于H．如图2，
∵AB=AO，AO=OB，
∴AB=AO=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=2∠C，
∴∠C=30°，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥OB，∴∠DBO=90°，
∴∠D=30°，
∴OD=2OB，∵DB=，
∴OB=2，
∴AB=2，
∵∠E=∠C，
∴∠E=30°，
∵∠ABE=105°，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABH=∠BAE=45°
∴AH=BH，
设AH=BH=x，
∵在Rt△ABH中，sin∠BAH=，
∴BH=AB•sin45°=2×=，
∴AH=，
在Rt△ABH中，BE=2BH=，
由勾股定理得：HE=，
∴AE=+．
分析：（1）连接BO，根据三角形的内角和定理可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；
（2）过点B作BH⊥AE于H，有（1）可知BD是⊙O的切线，设AH=BH=x，利用锐角三角函数出AH，再求勾股定理求出HE，进而求出AE 的值．
点评：本题综合考查了圆的切线的性质和判定、等边三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数等内容，是一个综合较强的题目．