Question

如图，正方形ABCD中，点P、点Q分别在BC、CD上，∠PAQ=45゜
（1）如图1，若AQ交BC的延长线于E，若AB=4，BP=1，求PE；
（2）如图2，过P点作PM⊥AC，QN⊥AC，垂足分别为M、N，若AB=4，求AM•AN的值；
（3）如图3，若AP交BD于F点，连FQ，求证：AF=FQ．

Answer 1

分析：（1）设CE=a，则PE=4-1+a=3+a，由勾股定理求出AP=

17

，过E作EH⊥AP交AP延长线于H，证△ABP∽△EHP，得出

AB

EH

=

AP

PE

=

BP

PH

，求出EH=

4(3+a)

17

，HP=

3+a

17

，求出EH=AH=AP+PH，得出方程

4(3+a)

17

=

17

+

3+a

17

，求出即可；
（2）证△ABP∽△ANQ，得出

AB

AP

=

AN

AQ

，求出AN=

4AQ

AP

，同理证△AMP∽△ADQ，求出AM=

4AP

AQ

，代入求出即可；
（3）证△AOF∽∠DOQ，得出

AO

DO

=

OF

OQ

，根据∠AOD=∠FOQ和比例式证△AOD∽△FOQ，推出∠5=∠6=45°，求出∠1=∠6，根据等腰三角形的判定推出即可．

解答：（1）解：设CE=a，则PE=4-1+a=3+a，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP=

42+12

=

17

，
如图，过E作EH⊥AP交AP延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠H=90°，
∵∠1=∠2，
∴△ABP∽△EHP，
∴

AB

EH

=

AP

PE

=

BP

PH

，
∴EH=

AB•PE

AP

=

4(3+a)

17

，HP=

BP•PE

AP

=

3+a

17

，
∵∠H=90°，∠PAQ=45°，
∴∠HEA=45°=∠PAQ，
∴EH=AH=AP+PH，
∴

4(3+a)

17

=

17

+

3+a

17

，
解得：a=

8

3

，
∴PE=3+a=

17

3

．

（2）解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠BAC=45°=∠1+∠2，
∵∠PAQ=45°=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵QN⊥AC，
∴∠ANQ=∠B=90°，
∴△ABP∽△ANQ，
∴

AB

AP

=

AN

AQ

，
∵AB=4，
∴AN=

4AQ

AP

，
同理△AMP∽△ADQ，
∴

AD

AQ

=

AM

AP

，
∵AD=AB=4，
∴AM=

4AP

AQ

，
∴AM•AN=

4AP

AQ

•

4AQ

AP

=16．

（3）证明：如图，∵∠PAQ=45°，四边形ABCD是正方形，
∴∠ADQ=90°，∠5=45°，∠1=∠2=45°，
∵∠3=∠4，
∴△AOF∽∠DOQ，
∴

AO

DO

=

OF

OQ

，
∴

AO

OF

=

DO

OQ

，
∵∠AOD=∠FOQ，
∴△AOD∽△FOQ，
∴∠6=∠5=45°，
∴∠1=∠6=45°，
∴AF=FQ．

点评：本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，综合性比较强，难度偏大．