Question

（2012•南岗区二模）在△ABC中，已知∠BAC=45°，高线CD与高线AE相交于点H，连接DE．
（1）如图1，△ABC为锐角三角形时，求证：AE-CE=

2

DE；
（2）如图2，在（1）的条件下，作∠AEC的平分线交AC于点F，连接DF交AE于点G，若BD=

2

CF，AE=6，求GH的长．

Answer 1

分析：（1）过点D作DN⊥DE交AE于点N，易证得△ADN≌△CDE，由全等三角形的对应边相等，可得CE=AN，DE=DN，即可得△DEN是等腰直角三角形，则可证得AE-CE=

2

DE；
（2）易证得△DBE∽△CFE，根据相似三角形的对应边成比例，可得DE=

2

EC，设EC=x，则DE=

2

x，由（1）结论可得：6-x=2x，则可求得DE等线段的长度，又由△ADH≌△CDB，可求得DH与CA的长，然后过F做FM∥AE交CD于点M，由相似三角形的对应边成比例，即可求得GH的长．

解答：解：（1）过点D作DN⊥DE交AE于点N．
∵CD⊥AD，∠BAC=45°，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD．
∵∠ADN+∠NDC=∠ADC=90°=∠NDC+∠EDC，
∴∠ADN=∠EDC，
∵高线CD与高线AE相交于点H，
∴∠DAH+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠DAH=∠DCB，
在△ADN和△CDE中，

∠ADN=∠CDE AD=CD ∠DAN=∠DCE

，
∴△ADN≌△CDE（ASA），
∴CE=AN，DE=DN，
∴∠DEN=45°，EN=

2

DE，
∴AE-EC=AE-AN=EN=

2

DE；

（2）由（1）可得：∠BED=45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，EF平分∠AEC，
∴∠CEF=45°，
∴∠CEF=∠BED，∠CFE=180°-∠CEF-∠ACB=180°-45°-∠ACB，
∵∠BAC=45°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-45°-∠ACB，
∴∠B=∠CFE，
∴△DBE∽△CFE，
∴

BD

CF

=

DE

CE

，
∵BD=

2

CF，
∴DE=

2

EC，
设EC=x，则DE=

2

x，
由（1）结论可得：6-x=2x，
解得：x=2，
∴EC=2，DE=2

2

，
过D作DK⊥BC于K，
∵∠DEB=45°，
∴DK=EK=

2

2

DE=2，
∴CK=EK+EC=4，
∴tan∠DCK=

DK

CK

=

2

4

=

1

2

，CD=

DK2+CK2

=2

5

，
∴BD=

1

2

CD=

5

，BC=5，
∴CF=

10

2

，
∵AE∥DK，EK=EC，
∴EH=

1

2

DK=1，CH=

1

2

CD=

5

，
∴AH=AE-EH=5，
∴AH=BC，
由（1）得：∠DAH=∠DCB，AD=BC，
在△ADH和△CDB中，

AH=BC ∠DAH=∠DCB AD=CD

，
∴△ADH≌△CDB（SAS），
∴DH=BD=

5

，CA=

AE2+EC2

=2

10

，
过F做FM∥AE交CD于点M，
则△CFM∽△CAH，
∴

FM

AH

=

CF

CA

=

CM

CH

=

1

4

，
∴FM=

5

4

，CM=

5

4

，MH=

3 5

4

，
又∵GH∥FM，
∴△DHG∽△DMF，
∴

GH

FM

=

HD

DM

，
即

GH

5 4

=

5

5 + 3 5 4

，
∴GH=

5

7

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．