Question

如图，AD是⊙O的直径，AC为弦，∠CAD=30°，OB⊥AD于O，交AC于B，AB=5，求BC的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：连接CD，根据AD是⊙O的直径可知∠C=90°，再由OB⊥AD可得出∠AOB=∠C=90°，在Rt△AOB中，根据∠CAD=30°，AB=5可得出OB，OA的长，进而得出AD的长，由AC=AD•cos30°求出AC的长，根据BC=AC-AB即可得出结论．

解答：解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OB⊥AD，
∴∠AOB=∠C=90°，
在Rt△AOB中，
∵∠CAD=30°，AB=5，
∴OB=

5

2

，OA=OB•cot30°=

5

2

×

3

=

5 3

2

，
∴AD=5

3

，
∴AC=AD•cos30°=5

3

×

3

2

=

15

2

，
∴BC=AC-AB=

15

2

-5=

5

2

．

点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．