Question

附加题：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且ac=b．
（1）求该二次函数的解析表达式；
（2）将一次函数y=-3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数与x轴只有一个交点，可得出△=0，然后将B点坐标代入抛物线，联立△=0和ac=b即可求出抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的解析式可求出A点的坐标，设出平移后的直线的解析式，然后将A点坐标代入即可求出平移后图象L的解析式，然后联立直线L和抛物线G即可求出C点的坐标．由于△ABC的面积无法直接求出，可转换成其他规则图形面积的和差来求解．
过C作x轴的垂线，可通过S_△ABC=S_梯形OBCD-S_△CAD-S_△OBA来求出△ABC的面积．

解答：解：（1）由B（0，4）得，c=4．
G与x轴的交点A（-

b

2a

，0），
由条件ac=b，得-

b

2a

=-

c

2

=-2，
即A（-2，0）．
所以

b=4a 4a-2b+4=0

．
解得

a=1 b=4

．
所求二次函数的解析式为y=x²+4x+4．

（2）设图象L的函数解析式为y=-3x+b，
因图象L过点A（-2，0），
所以b=-6，
即平移后所得一次函数的解析式为
y=-3x-6．
令-3x-6=x²+4x+4，
解得x₁=-2，x₂=-5．
将它们分别代入y=-3x-6，
得y₁=0，y₂=9．
所以图象L与G的另一个交点为C（-5，9）．
如图，过C作CD⊥x轴于D，
则S_△ABC=S_梯形BCDO-S_△ACD-S_△ABO
=

1

2

（4+9）×5-

1

2

×3×9-

1

2

×2×4=15．

点评：命题立意：考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
点评：（1）函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
（2）不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．