Question

如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与反比例函数y=（m+5）x^2m+1的图象交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求此反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）若△AOB的面积为2，求A点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵反比例函数y=（m+5）x^2m+1
∴m=-1
∴反比例函数的解析式为
由y=kx+2k可知B点的坐标为（-2，0）；
（2）∵△AOB的面积为2，
可求出点A的纵坐标为2，
∴点A的坐标为（2，2）；
（3）当AP₁⊥x轴，AP₁=OP₁，
∴P₁（2，0），
当AO=AP₂，
∴P₂（4，0），
当AO=OP₃，
∴P₃（-2，0），
当AO=OP₄，
∴P₄（2，0），
则P点的坐标为：P₁（2，0），P₂（4，0），P₃（-2，0），P₄（2，0）．
分析：（1）根据双曲线函数的定义可以确定m的值；利用y=kx+2k当y=0时，x=-2就知道B的坐标；
（2）根据（1）知道OB=2，而S_△AOB=2，利用它们可以求出A的坐标；
（3）存在点P，使△AOP是等腰三角形．只是确定P坐标时，题目没有说明谁是腰，是底，所以要分类讨论，不要漏解．
点评：此题考查了反比例函数的定义确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质确定点的坐标，最后考查了根据图形变换求点的坐标．