Question

13．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2$\sqrt{10}$，sin∠CAF=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；
（2）连接AE，利用已知条件分别求出BC，CE的长，由BE=BC-CE计算即可．

解答 （1）证明：连结BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠DAB+∠DBA=90°．
∵AB=AC，
∴2∠ABD=∠ABC，AD=$\frac{1}{2}$AC．
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAB=90°．
∴∠FAC+∠CAB=90°．
∴∠FAC=∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：连接AE．
∴∠AEB=∠AEC=90°．
∵$sin∠CAF=\frac{{\sqrt{10}}}{10}\;，\;\;∠ABD=∠CAF\;=∠CBD=∠CAE$，
∴$sin∠ABD=sin∠CAF=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
∵$∠ABD=90°\;，\;\;AC=2\sqrt{10}$，
∴$AD=\sqrt{10}$，$AB=\frac{AD}{sin∠ABD}=10$．
∵$∠AEC=90°\;，\;\;AC=2\sqrt{10}$，
∴CE=AC•sin∠CAE=2．
∴BE=BC-CE=10-2=8．

点评 此题考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．