Question

如图，直线1：y=x+2与两坐标轴交于A、C，抛物线经过A点，顶点为（1，9）与x轴的另一个交点为B．动点D从点C出发，以每秒个单位的速度沿射线AC方向运动．同时点E从点B出发以每秒2个单位速度向点O运动．当E点到达O点时，两点运动停止．
（1）求抛物线解析式．
（2）当S_{四边形DCOE}=2S_△AOC时，求点D坐标．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线对称轴上，且△DEQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）y=x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=-2，
∴A（-2，0），C（0，2），
设抛物线的解析式是y=a（x-1）²+9，
把A（-2，0）代入得：0=a（-2-1）²+9，
解得：a=-1，
y=-（x-1）²+9，
即y=-x²+2x+8，
∴抛物线解析式是y=-x²+2x+8．

（2）由（1）知：A（一2，0）、C（0，2）
∴S_{四边形DCOE}=2S_△AOC=4，
∴S_△ADE=2+4=6，
作DH⊥X轴于H．CM⊥DH于M，
∴AE×DH=6．
∵AE=6-2t．DH=2+t，
∴（6-2t）（2+t）=6．
t₁=0（舍），t₂=1，
∴此时D的坐标为（1，3），
答：点D的坐标是（1，3）．

（3）点Q的坐标是（l，3+），（l，3-），（l，），（1，-3）．
分析：（1）把x=0，y=0分别代入求出y、x，得到A的坐标，设抛物线的解析式是y=a（x-1）²+9，把A（-2，0）代入求出a即可；
（2）作DH⊥x轴于H．CM⊥DH于M，根据A、C的最左边求出△AOC的面积，得到△ADE的面积，把AE、DH的值代入求出t即可；
（3）有3种情况DE=EQ，DQ=DE，EQ=DQ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出即可．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．