Question

如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，点D在AC上，点E在BC上，且CD=CE，连接DE．
（1）线段BE与AD的数量关系是______，位置关系是______．
（2）如图（2），当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
（3）绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°＜α＜180°时，延长DC交AB于点F，请在图（3）中补全图形，并求出当AF=1+时，旋转角α的度数．

Answer 1

解：（1）∵AC=BC=，CD=CE，
∴BE=AD，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴BE⊥AD．

（2）仍然成立．
如图（1），延长BE交AD于点M．
在△BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD=α，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD．
∴BE=AD．
∵∠1=∠2，∠CAD=∠CBE，∴∠AMB=∠ACB=90°．
即　BE⊥AD．

（3）如图（2），过点C作CN⊥AB于点N，
∵AC=BC=，∠ACB=90°，
∴CN=AN=AB=1，∠BCN=45°．
∵AF=1+，
∴FN=AF-AN=．
在Rt△CNF中，tan∠FCN==，
∴∠FCN=30°．
∴∠BCF=∠BCN-∠FCN=15°．
∵∠FCE=90°，
∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=105°．
∴当AF=1+时，旋转角α为105°．
分析：（1）利用线段间的和差关系求得BE=AD，根据已知条件∠ACB=90°推知两线段的位置关系；
（2）先延长BE交AD于点M在△BCE和△ACD中，根据BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，得出△BCE≌△ACD，从而证出BE=AD，再根据∠1=∠2，∠CAD=∠CBE，即可证出（1）中的结论仍然成立；
（3）先过点C作CN⊥AB于点N，根据已知条件得出CN=AN=AB=1，∠BCN=45°，得出FN=AF-AN=，再在Rt△CNF中，tan∠FCN==，得出∠BCF的度数，从而证出∠BCE=∠BCF+∠FCE=105°，再求出AF的值，从而得出角α的度数．
点评：此题考查了解等腰直角三角形；熟练运用旋转的性质，全等三角形的判断与性质，锐角三角函数值等知识点进行解答即可．