Question

如图，点A（-2，0），点B（0，1），双曲线（x＞0），
（1）将线段AB绕点O顺时针旋转90°，得到线段A₁B₁，写出A₁、B₁的坐标；
（2）将线段A₁B₁平移，对应点A₂，B₂落在双曲线上，求出点A₂，B₂的坐标；
（3）将双曲线绕点M旋转90°，旋转后的双曲线是否能同时经过A、B两点？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）（0，2）（1，0）；

（2）∵A₂在双曲线（x＞0）上，
设A₂（），且a＞0，
根据平移的性质得B₂（），
∵B₂在双曲线（x＞0）上，
∴，
解得a₁=1，a₂=-2，
经检验是方程的根，
∵a＞0，
∴a=1，
∴A₂（1，4）B₂（2，2），

（3）由（1）（2）小题知AB⊥A₂B₂，所以可绕某一点将AB旋转90度与A₂B₂重合，（1分
又∵若将双曲线绕某一点旋转90°，使之同时经过A、B两点，等同于将AB绕某一点旋转90度，使A、B两点同时落在双曲线上，
①若将AB绕点M旋转顺时针90度，
A与A₂，B与B₂对应，如图1
连接BB₂接，点M在BB₂的对称轴上，
∴BM=MB₂，
∵旋转角∠BMB₂=90°，
∴△BMB₂是等腰直角三角形，
以BB₂为一边，M为中心，构造正方形，易知M（）．
②将AB绕点M旋转逆时针90度，
∵对应点的连线经过旋转中心，
∴作AB₂，BA₂若的对称轴，交于点M，
用相似求出点D（，0），直线BD的解析式y=-2x+1，
用同样方法求出直线A₂M的解析式，
∴M（-1，3），
综上M（-1，3）或（）；　　（两种情况，分别用两种方法解仅供参考）；

分析：（1）由题意旋转后很容易得；
（2）设A₂，根据平移的性质得B₂，求得a值，从而求得A₂（1，4），B₂（2，2）．②对应点的连线经过旋转中心，求得点D．用同样方法求出直线A₂M的解析式，求得点M．
（3）由（1）（2）小题知AB⊥A₂B₂，所以可绕某一点将AB旋转90度与A₂B₂重合，又由BM=MB₂，所以得△BMB₂是等腰直角三角形．以BB₂为一边，M为中心，构造正方形，易知点M．
点评：本题考查了反比例函数的综合应用，（1）通过旋转来确定坐标；（2）设A₂，根据平移的性质得B₂，求得a值，从而求得A₂（1，4），B₂（2，2）．②对应点的连线经过旋转中心，求得点D．进而求得点M．（3）由（1）（2）小题知AB⊥A₂B₂，所以可绕某一点将AB旋转90度与A₂B₂重合，又由BM=MB₂，所以得△BMB₂是等腰直角三角形．以BB₂为一边，M为中心，构造正方形，易知点M．