Question

如图所示：A是x轴正半轴上的一个动点，以OA为边在x轴下方作矩形OABC，使，将点B沿经过A点的某直线对折到OC边上D点处，以B为顶点的抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）经过D点，并且与过A、D两点的直线y=mx+n交于P点．
（1）求m的值；
（2）判断点M（2，-3）能否成为矩形OABC的对称中心？请说明理由；
（3）若点M（2，-3）始终在矩形OABC内部，求S_△BDP的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵，
∴设A的坐标为（4k，0），B的坐标为（4k，-5k），
根据题意得：AD=AB，
∴OD==3k，
∴D的坐标为（0，-3k）；
∴，
解得：m=；

（2）∵四边形OABC是矩形，
∴矩形OABC对称中心为（2k，-2.5k），
∵点M（2，-3），
2k=2，则k=1；
-2.5k=-3，则k=；
∴矛盾，
∴M点不是矩形OABC的对称中心；

（3）直线y=mx+n过点A和D，
∴直线AD的解析式为：y=x-3k，
设抛物线y=a（x-4k）²-5k，过D点，
代入得：-3k=a（0-4k）²-5k，解得：a=，
抛物线为y=（x-4k）²-5k，
联立抛物线与直线，
解得P点（14k，k）
∴S_△BDP=S_△DAB+S_△PAB=×5k×4k+×5k×10k=35k²，
∵M（2，-3）在矩形内部，
∴，
∴k＞，
∴S_△BDP＞35×（）²=，
即S_△BDP＞．
分析：（1）由，可设A的坐标为（4k，0），B的坐标为（0，5k），又由折叠的性质，即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得m的值；
（2）由四边形OABC是矩形，即可求得矩形OABC对称中心为（2k，-2.5k），又由点M（2，-3），分别求得k的可能取值，得到矛盾，即可得点M（2，-3）不能成为矩形OABC的对称中心；
（3）由直线y=mx+n过点A和D，求得直线AD的解析式为：y=x-3k，又由抛物线y=a（x-4k）²-5k，过D点，利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，联立抛物线与直线，求得P点的坐标，由S_△BDP=S_△DAB+S_△PAB与M（2，-3）在矩形内部，即可求得S_△BDP的取值范围．
点评：此题考查了矩形的性质，折叠的性质，待定系数法求函数的解析式以及三角形面积问题等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．