已知抛物线与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),抛物线顶点为D,连接AD,AC,CD.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)△ACD与△COB是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由;
(3)抛物线的对称轴与线段AC交于点E,求△CED的面积.
分析:(1)抛物线过A,B,C三点,则这三点的坐标适合抛物线解析式,从而求出抛物线解析式.
(2)根据抛物线的解析式,可通过配方(公式法亦可)求得D点的坐标,然后分别求出两个三角形中六条边的长,然后判断它们是否对应成比例即可.
(3)此题有两种解法:
①由(2)证得:△ACD∽△COB,则△ACD是直角三角形,求得了直角边AC、CD的长,即可求出△ACD的面积;然后通过比较A、E、C三点坐标,求出△AED、△CED、△ACD面积的比例关系,从而求出△CED的面积;
②先求出直线AC的解析式,联立抛物线对称轴可得到E点坐标,进而可求出DE的长,以DE为底,E点横坐标的绝对值为高即可得到△CED的面积.
解答:解:(1)设抛物线解析式为y=ax
2+bx-3(a≠0),(1分)
根据题意,得
,
解得
,(2分)
∴抛物线的解析式为y=x
2+2x-3.(1分)
(2)相似(1分)
由y=x
2+2x-3配方得y=(x+1)
2-4,
∴D(-1,-4),(1分)
由两点间距离公式得
AD=2,
CD=,
AC=3,(2分)
又∵
CB=,BO=1,OC=3,
∴
===,
∴△ACD∽△COB.(2分)
(3)由(2)可知∠ACD=90°,
∴
S△ADC=AC•CD=3,(1分)
∵抛物线的对称轴是x=-1,A到x=-1的距离是2,C到x=-1的距离是1,
∴
S△CDE=S△ADE,又S
△ADC=S
△CDE+S
△ADE,
∴
S△CDE=S△ADC=1.(1分)
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定以及图形面积的求法,比较简单.