Question

在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点间的距离之和最小．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如果在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径作圆恰好与x轴相切，求此圆的直径．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+c，
把B（3，0），C（0，-3）代入得：
，
解得a=1，c=-4，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；

（2）存在．
∵由对称性可知，A点的坐标为（-1，0），
∵C点坐标为（0，-3），B点坐标为（3，0），
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∵P点在对称轴上，设P点坐标为（1，y）代入y=x-3，
求得P点坐标为（1，-2）；

（3）证明：设圆的半径为r，
依题意有M（1-r，r），N（1+r，r）把M的坐标代入y=x²-2x-3，
整理得：r²-r-4=0，
解得（舍去），
∴所求圆的直径为．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用对称性可知，A点的坐标为（-1，0），进而得出直线BC的解析式，即可求出P点坐标；
（3）首先表示出M点的坐标，进而代入二次函数解析式得出r的值，即可得出答案．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的综合应用，根据已知表示出M点的坐标是解题关键．