Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若四边形ABCD的周长是2

2

+4，求⊙O的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）连接OD，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOD为直角，再由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到∠ODC为直角，即DC垂直于OD，即可确定出DC为圆的切线；
（2）设圆的半径是r，根据△AOD是等腰直角三角形，则AD=

2

r，然后根据平行四边形的周长，即可列方程求得r的值，进而求得圆的面积．

解答：证明：（1）连接OD，
∵∠AOD与∠AED都对

AD

，∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠ODC=∠AOD=90°，
∴DC⊥OD，
则CD为圆O的切线；

（2）设圆的半径是r，在直角△AOD中，AD=

2

r，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2r，AD=BC=

2

r，
∴4r+2

2

r=2

2

+4，
解得：r=1，
则⊙O的面积是π．

点评：此题考查了切线的判定，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．