Question

如图所示，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作圆⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连结DE。
（1）求证：直线DE是圆⊙O的切线；
（2）连结OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值。

Answer 1

证明：（1）连结OD、OE、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CDB=∠ADB=90°
∵E点是BC的中点，
∴DE-CE=BE，
∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE=∠OBE= 90°
∴直线DE是⊙O的切线；
解：（2）作OH⊥AC于点H，由（1）知，BD⊥AC， EC=EB，
∵OA= OB
∴OE∥AC，且OE=AC，
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF，
∵CF=OF ，
∴△DCF≌△EOF（AAS）
∴ DC=OE=AD，
∴BA=BC，
∴∠A=45°
∵OH⊥AD
∴OH =AH=DH，
∴CH=3OH，
∴tan ∠ACO=。