Question

某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图2中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

Answer 1

分析：（1）此函数为分段函数，
当t≤30时，设一次函数为y=kt，将点（30，60）代入可将此函数关系式表示出来；
当30≤t≤40时，设一次函数为y=k₁t+b，将点（30，60），（40，0）代入进行求解，可将日销售量y与上市时间t的关系式写出；
（2）方法1，将0≤t≤20，20≤t≤30，30≤40的日销售量与每件产品的日销售利润表示出来，求出求出产品的日销售利润，进行比较；方法2，从图1和图2中，可知当t=30时，日销售量达到最大，每件产品的销售利润也达到最大，故t=30时，该公司的日销售利润最大．

解答：解：（1）由图1可得，
当0≤t≤30时，设市场的日销售量y=kt，
∵点（30，60）在图象上，∴60=30k，
∴k=2，即y=2t；
当30≤t≤40时，设市场的日销售量y=k₁t+b，
∵点（30，60）和（40，0）在图象上，∴

60=30k1+b 0=40k1+b

解得k₁=-6，b=240．
∴y=-6t+240．
综上可知，当0≤t≤30时，市场的日销售量y=2t；
当30≤t≤40时，市场的日销售量y=-6t+240．

（2）方法一：由图2得：
当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为y=3t；
当20≤t≤40时，每件产品的日销售利润为y=60．
∴当0≤t≤20时，产品的日销售利润y=3t×2t=6t²；
∴当t=20时，产品的日销售利润y最大等于2400万元．
当20≤t≤30时，产品的日销售利润y=60×2t=120t．
∴当t=30时，产品的日销售利润y最大等于3600万元；
当30≤t≤40时，产品的日销售利润y=60×（-6t+240）；
∴当t=30时，产品的日销售利润y最大等于3600万元．
综上可知，当t=30天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．
方法二：由图10知，当t=30（天）时，市场的日销售量达到最大60万件；又由图11知，当t=30（天）时产品的日销售利润达到最大60元/件，所以当t=30（天）时，市场的日销售利润最大，最大值为3600万元．

点评：在求该公司的日销售利润最大时，既可进行分类讨论，也可结合图形，将所求的时间t直接找出，然后在进行求解，使求解过程简单化．