Question

如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，BD平分∠ADC，∠ADC=60°，过点B作BE⊥DC，过点A作AF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．
（1）试说明：∠DAF=∠BAF．
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠ADC
∴∠ADB=∠CDB=∠ADC=30°．…（1分）
∵DC∥AB
∴∠BDC=∠ABD=30°．…（2分）
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD…（3分）
∵AF⊥BD．
∴F为BD中点．∠DAF=∠BAF…（5分）
（2）△BEF为等边三角形．…（6分）
理由如下：
由（1）知F为BD中点
∵BE⊥DC，
∴EF为Rt△BDE斜边BD上的中线…（7分）1
∴DF=BF=EF…（8分）
∵∠BDE=30°．
∴∠DBE=60°…（9分）
∴△BEF为等边三角形…（10分）．
分析：（1）利用等角对等边证得AB=AD，然后证得点F为BD的中点，然后利用等腰三角形三线合一证得结论即可；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DF=BF=EF，然后利用∠DBE=60°根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证得三角形BEF为等边三角形即可．
点评：本题考查了梯形的性质及等腰三角形的判定及判定，包括了等边三角形的判定及性质，题目难度适中．