Question

14．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格x（元/千克）	30	35	40	45	50
日销售量p（千克）	600	450	300	150	0

（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润-日支出费用）

Answer 1

分析 （1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．

解答 解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=600}\\{40k+b=300}\end{array}\right.$，
解得：k=-30，b=1500，
∴p=-30x+1500，
检验：当x=35，p=450；当x=45，p=150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p=-30x+1500；

（2）设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30）
即w=-30x²+2400x-45000，
∴当x=-$\frac{2400}{2×（-30）}$=40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；

（3）日获利w=p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a），
即w=-30x²+（2400+30a）x-（1500a+45000），
对称轴为x=-$\frac{2400+30a}{2×（-30）}$=40+$\frac{1}{2}$a，
①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，
即w=2250-150a＜2430（不合题意）；
②若a＜10，则当x=40+$\frac{1}{2}$a时，w有最大值，
将x=40+$\frac{1}{2}$a代入，可得w=30（$\frac{1}{4}$a²-10a+100），
当w=2430时，2430=30（$\frac{1}{4}$a²-10a+100），
解得a₁=2，a₂=38（舍去），
综上所述，a的值为2．

点评 本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．