Question

1．如图，在坐标系中，直线y=-3x+6与x轴的正半轴交于点C，与y轴的正半轴交于点B，直线BA与x轴的负半轴交于点A，AB=5OC，射线BN∥x轴．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P从B点出发，沿射线BN以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时，动点Q从A点出发，沿线段AB以每秒1个单位长的速度匀速运动，当Q点到达终点B时，P点随之停止运动．作PM∥BC，交x轴于点M，连接PQ、QM，设点P、Q运动的时间为t（秒），△PQM的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，作△PQM的外接圆⊙R，连接RP、RQ，是否存在这样的时刻t，使得PR⊥QR？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-3x+6求得B、C的坐标，然后根据已知条件求得A点的坐标，即可利用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）先求得AB=AC=10，进而求得PB=BD=MC=t，然后分当0＜t≤5时和5＜t≤10时，分别讨论求得QD，根据三角形相似求得PE和MF，根据三角形面积公式即可求得S与t之间的函数关系式；
（3）先求得△PQM是等腰三角形，然后根据已知条件证得R是PM的中点，从而证得PM是⊙R的直径，得出△PQM是等腰直角三角形，作QG⊥OA，MH⊥AB于H，证得作QG⊥OA，MH⊥AB于H，根据角平分线的性质求得MH=MG=$\frac{4}{5}$t-（10-t）=$\frac{9}{5}$t-10，然后根据三角形相似即可求得t的值．

解答 解：（1）∵直线y=-3x+6与x轴的正半轴交于点C，与y轴的正半轴交于点B，
∴B（0，6），C（2，0），
∴OB=6，OC=2，
∵AB=5OC，
∴AB=10，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=8，
∴A（-8，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-8k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+6；
（2）∵OA=8，OC=2，
∴AC=10=AB，
∵BN∥x轴，PM∥BC，
∴MC=PB=t，
∴BD=MC=t，
∵AQ=t，
当0＜t≤5时，如图1，
∴QD=10-2t，
作PE⊥AB于E，MF⊥AB于F，
∴∠AFO=∠AOB=90°，
∵∠OAB=∠MAF，
∴△AMF∽△ABO，
∴$\frac{MF}{OB}$=$\frac{AM}{AB}$，
∵AM=10-t，AB=10，OB=6，
∴$\frac{MF}{6}$=$\frac{10-t}{10}$，
∴MF=6-$\frac{3}{5}$t，
同理：PE=$\frac{3}{5}$t，
∴S=S_△MQD+S_△PQD=$\frac{1}{2}$QD•MF+$\frac{1}{2}$QD•PE=$\frac{1}{2}$×（10-2t）×6=30-6t；
即：S与t之间的函数关系式为S=-6t+30；
当5＜t≤10时，如图2，
则QD=2t-10，
∴S=S_△MQD+S_△PQD=$\frac{1}{2}$QD•MF+$\frac{1}{2}$QD•PE=$\frac{1}{2}$×（2t-10）×6=6t-30；
综上：S=$\left\{\begin{array}{l}{30-6t（0＜t≤5）}\\{6t-30（5＜t≤10）}\end{array}\right.$；
（3）存在，
理由：∵PB=MC=AQ=t，AB=AC=10，
∴BQ=AM=10-t，
∵BN∥x轴，
∴∠PBQ=∠QAM，
在△PBQ和△QAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=AQ}\\{∠PBQ=∠QAM}\\{BQ=AM}\end{array}\right.$，
∴△PBQ≌△QAM（SAS），
∴PQ=QM，∠BPQ=∠AQM，
∵⊙R是△PQM的外接圆，
∴R在PM的垂直平分线上，
∵PR⊥QR，
∴R是PM的中点，
∴PM是⊙R的直径，
∴∠PQM=90°，
∴∠AQP+∠AQM=90°=∠BPQ+∠QBP+∠AQM=∠QAM+∠AQM+AQM=∠QAM+2∠AQM，
作QG⊥OA，MH⊥AB于H，
∵∠QAM+∠AQG=90°，
∴∠AQG=2∠AQM，
∴∠AQM=∠MQG，
∵QG∥OB，
∴$\frac{AG}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{AG}{8}$=$\frac{t}{10}$，
∴AG=$\frac{4}{5}$t，
∵AM=10-t，
∴MH=MG=$\frac{4}{5}$t-（10-t）=$\frac{9}{5}$t-10，
∵∠AHM=∠AOB=90°，∠MAH=∠BAO，
∴△AMH∽△ABO，
∴$\frac{MH}{OB}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{\frac{9}{5}t-10}{6}$=$\frac{10-t}{10}$，
解得t=$\frac{20}{3}$，
即当t=$\frac{20}{3}$时，使得PR⊥QR．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．