Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，且A在B的左边，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的顶点D的坐标和抛物线的对称轴；
（2）求点A，B，C三点坐标．并画出此二次函数的大致图象；
（3）根据图象回答：当x取何值，y＞0；
（4）连接AC，CD，DB，求四边形ABDC的面积．

Answer 1

分析：（1）将抛物线解析式配方，可求顶点坐标及对称轴；
（2）令抛物线解析式中的y=0，x=0，可求抛物线与x轴（y轴）的交点坐标；
（3）观察图形可直接得出y＞0时，x的取值范围；
（4）设对称轴与x轴交于E点，将四边形ABDC分割为两个直角三角形及一个直角梯形求面积．

解答：解：（1）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线顶点坐标（1，4），对称轴直线x=1；

（2）令y=-x²+2x+3中y=0，得x₁=-1，x₂=3，
令x=0，得y=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线大致图象如图所示；

（3）由图象可知，当-1＜x＜3时，y＞0；

（4）如图，设抛物线对称轴与x轴交于E点，
则S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4=9．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意画出图形，根据抛物线解析式求出抛物线的顶点坐标，对称轴及与x（y）轴的交点坐标．