Question

6．如图，AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，BE=AC．
（1）求证：AD=BD；
（2）若∠C=65°，求∠ABE的度数．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等求出∠C=∠BED，再利用“角角边”证明△ACD和△BED全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠FBC，再求出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠ABD=45°，再根据∠ABE=∠ABD-∠CBF代入数据计算即可得解．

解答 （1）证明：∵AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，
∴∠C+∠CBE=90°，
∠BED+∠CBE=90°，
∴∠C=∠BED，
在△ACD和△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BED}\\{∠ADC=∠BDE=90°}\\{BE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BED（AAS），
∴AD=BD；

（2）解：∵BF⊥AC，
∴∠CBF=90°-∠C=90°-65°=25°，
∵AD⊥BC，AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABE=∠ABD-∠CBF=45°-25°=20°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．