Question

某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要投入2500元，对销售市场进行调查后，得知市场对此产品的需求量为每年500台，且销售收入可看作是函数y=500x-

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x2，其中x是产品售出的数量，且0≤x≤500，已知此机器重要部件更新换代快，若造成积压，第二年无法卖出或无利可图．
（1）分别写出当0≤x≤500及x＞500时利润w与年产量x之间的函数关系式；
（2）请你运用函数知识，为该厂厂长设计一个最佳的生产计划，并求出由此计划获得的最大年利润是多少？

Answer 1

（1）当0≤x≤500时，产品全部售出
∴W=500x-

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x2-(5000+25x)
即W=-

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x2+475x-5000（2分）
当x＞500时，产品只能售出500台
∴W=500×500-

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×5002-(5000+25x)
即，W=-25x+120000（4分）

（2）当0≤x≤500时，W=-

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(x-475)2+107812.5（6分）
当x＞500时，W=120000-25x＜120000-25×500=107500（8分）
故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107812.5元，最佳生产计划475台．（10分）