Question

11．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：如图，
由翻折的性质，得
AB=AB′，BE=B′E．
①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得
B′E=$\sqrt{{x}^{2}+1}$．
△B′EN∽△AB′M，
$\frac{EN}{B′M}$=$\frac{B′E}{AB′}$，即$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}}{3}$，
x²=$\frac{4}{5}$，
BE=B′E=$\sqrt{\frac{4}{5}+1}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得
B′E=$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$，
△B′EN∽△AB′M，
$\frac{EN}{B′M}$=$\frac{B′E}{AB′}$，即$\frac{x}{1}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4}}{3}$，
解得x²=$\frac{1}{2}$，BE=B′E=$\sqrt{\frac{1}{2}+4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB=AB′，BE=B′E是解题关键，又利用了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．