Question

如图，已知抛物线y=x²+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点C为OA的中点，求BC的长；
（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．

Answer 1

解：（1）∵点A（a，12）在直线y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵点A是抛物线y=x²+bx上的一点，
将点A（6，12）代入y=x²+bx，可得b=-1，
∴抛物线解析式为y=x²-x．

（2）∵点C是OA的中点，
∴点C的坐标为（3，6），
把y=6代入y=x²-x，
解得：x₁=1+，x₂=1-（舍去），
故BC=1+-3=-2．

（3）∵点A的坐标为（6，12），
∴直线OA的解析式为：y=2x，
∵点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（n，2m），
把点B（n，2m）代入y=x²-x，可得m=n²-n，
∴m、n之间的关系式为m=n²-n．
分析：（1）将点A的坐标代入直线解析式求出a的值，继而将点A的坐标代入抛物线解析式可得出b的值，继而得出抛物线解析式；
（2）根据点A的坐标，求出点C的坐标，将点B的纵坐标代入求出点B的横坐标，继而可求出BC的长度；
（3）根据点D的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了矩形的性质、待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系．