Question

18．阅读材料题：
小红在解题的过程中发现了如下规律：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…聪明的你能用上面的规律来解答下列问题吗？求：
（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{9×10}$；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$；
（3）$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+$\frac{1}{8×10}$+…+$\frac{1}{98×100}$．

Answer 1

分析 （1）裂项相消可得；
（2）裂项相消可得；
（3）每个分数都提取$\frac{1}{4}$后，将括号内裂项相消后即可得．

解答 解：（1）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=1-$\frac{1}{10}$
=$\frac{9}{10}$；

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=1-$\frac{1}{n}$
=$\frac{n-1}{n}$；

（3）原式=$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{49×50}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{49}$-$\frac{1}{50}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{50}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{49}{50}$
=$\frac{49}{200}$．

点评 本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中数的变化找出变化规律是解题的关键．