Question

4．（1）如图1，若点M、N分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，且∠MAN=45°，判断S_△AMN、S_△ABM、S_△ADN之间的等量关系，并加以证明；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=45°且AD⊥BC于D，若BD=3，CD=10，求：S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）如图1，在CD上截取DE=MB，连接AE由正方形的性质就可以得出Rt△ABM≌Rt△ADE，就可以得出AM=AE，∠DAE=∠BAN，进而得出△ANM≌△ANE就可以得出结论；
（2）以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ=BD，就可以得出△ABD≌△AQF，得出∠CAQ=45°，∠BAC=∠CAQ，就有△BAC≌△QAC，从而得出BC=CQ=13，设AD=x，则QE=x-3，CE=x-10．由勾股定理就可以求出x的值，得出AD的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．

解答 解：（1）如图1，在CD上截取DE=MB，连接AE．
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=AD，∠ABC=∠D=90°
在△ABM和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{MB=ED}\\{∠ABM=∠ADE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴∠BAM=∠DAE，AM=AE
∵∠MAN=45°
∴∠DAE+∠BAN=45°．
即∠NAE=45°．
在△ANM和△ANE中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ANM≌△ANE（SAS），
∴S_△AMN=S_△AEN．
∵S_△ADN=S_△AEN+S_△ADE，
∴S_△ADN=S_△ANE+S_△ADE=S_△AMN+S_△ABM；
（2）以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ=BD．
在△ABD和△AQF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠ADB=∠F}\\{BD=QF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AQF（SAS），
∴AB=AQ，∠BAD=∠FAQ
∵∠BAC=45°
∴∠BAD+∠DAC=45°
∴∠DAC+∠FAQ=45°
即∠CAQ=45°
∴∠BAC=∠CAQ．
在△BAC和△QAC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AQ}\\{∠BAC=∠CAQ}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△QAC（SAS），
∴BC=CQ=BD+CD=13．
设AD=x，则QE=x-3，CE=x-10．
在Rt△CQE中，∠E=90°
∵CE²+QE²=CQ²
∴（x-10）²+（x-3）²=13²
解得：x₁=15，x₂=-2（不合舍去）
∴AD=15
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•AD=\frac{195}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．