Question

如图，MN=8，点P、Q在线段MN上，且PM=1，NQ=2．C是线段MN上的动点，分别以CM、CN为斜边在线段MN的同侧作直角△ACM和直角△BCN，使∠AMC=∠BCN=30°，连接AB，设AB的中点为D，当点C从点P运动到点Q时，点D移动路径的长是

 

．

Answer 1

分析：易知四边形ACNB是梯形，取CN的中点E，连接DE，设MC=x，1≤x≤6，在点C沿MN从P运动到Q的过程中，DE从左向右平移，根据含30°角的直角三角形的边角关系，可求出ME的表达式，求出当x=1和x=6时，ME₁和ME₂的长，即可得出．

解答：解：取CN的中点E，连接DE，设MC=x，1≤x≤6，
∵∠AMC=∠BCN=30°，
∴∠ACM=∠BNC=60°，则AC∥BN，
∴四边形ACNB是梯形（当C为MN中点时，为平行四边形），
∴AC=

x

2

，CE=BN=4-

x

2

，DE=

AC+BN

2

=2，且DE∥AC，
这就是说，在点C沿MN从P运动到Q的过程中，DE从左向右平移，
所以，点D运动路径的长就是点E运动路径的长，
∴ME=CM+CE=x+4-

x

2

=4+

x

2

，
当x=1时，ME₁=4.5，
当x=6时，ME₂=7，
∴E₁E₂=2.5，
∴点D运动路径长是2.5．

点评：本题主要考查了梯形的中位线定理和含30°角的直角三角形的边角关系，知道把点D的移动路径，转化为点E的移动路径，是解答本题的关键．