Question

设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若二次函数y=x²-x-是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据反比例函数y=的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组或，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；
（3）y=x²-x-=（x-2）²-，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数a、b的方程组或，通过解方程组即可求得a、b的值．
解答：解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：
反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2013；
当x=2013时，y=1，
所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故
反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；

（2）分两种情况：k＞0或k＜0．
①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，
，
解得．
∴此函数的解析式是y=x；
②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，
，
解得．
∴此函数的解析式是y=-x+m+n；

（3）∵y=x²-x-=（x-2）²-，
∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；
①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，
解得，（不合题意，舍去）或；
②当a＜2＜b时，此时二次函数y=x²-x-的最小值是-=a，根据“闭函数”的定义知，b=a²-a-、b=b²-b-；
a）当b=a²-a-时，由于b=（-）²-×（-）-=＜2，不合题意，舍去；
b）当b=b²-b-时，解得b=，
由于b＞2，
所以b=；
③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，
解得，，
∵＜0，
∴舍去．
综上所述，或．
点评：本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．