Question

（2012•大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．

Answer 1

分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，进而得出∠A=∠C=30°即可；
（2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD的长，进而求出AE的长度即可．

解答：解：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC=90°，
∵D是AC中点，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
即∠ACB=30°；

（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，
∴cos30°=

CD

BC

=

CD

3

，
∴CD=

3 3

2

，
∵AD=CD，
∴AC=3

3

，
∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，
∴AE=

1

2

×3

3

=

3 3

2

．

点评：此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出CD的长度是解题关键．