Question

如图，在半径为4的圆O中，AB，CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交圆O于点E，设DE＝(a＞0)，EM＝x．

(1)用含x和a的代数式表示MC的长，并试证·x＋12＝0；

(2)当a＝15且EM＞MC时，求sin∠EOM；

(3)根据图形写出EM长的取值范围；

(4)试问，在上是否存在一点E，使EM的长是关于x的方程－·x＋12＝0的相等的实根，如果存在，求出sin∠EOM的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为CD为圆O直径，所以∠DEC＝， 　　因为＝，MC＝EC－EM＝－x． 　　又因为由相交弦定理EM·MC＝AM·MB＝12，所以MC＝，，整理，得＋12＝0． 　　(2)当a＝15时，方程为－7x＋12＝0，解得＝4． 　　因为EM＞MC，所以EM＝4，MC＝3，由半径OE＝4， 得△EOM为等腰三角形． 　　作EF⊥OM于F，则OF＝FM＝1，由勾股定理EF＝＝，Rt△EOF中，sin∠EOM＝． 　　(3)根据图形不难看出MB＜EM＜MA，所以2＜EM＜6． 　　(4)假设上存在一点E，使EM的长是方程·x＋12＝0的相等实根，由Δ＝－4×12＝0，得到64－a＝48． 　　所以方程． 　　因为2＜EM＝2＜6，所以在上存在满足条件的点E，使EM＝2． 　　因为＝4，所以＝． 　　所以△EOM为Rt△，∠OME＝．