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    已知函数y=kx2-2x+（k是常数）
    （1）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值；
    （2）若点M（1，k）在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数和二次函数y=kx2-2x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
    （3）设抛物线y=kx2-2x+与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2，x12+x22=1．在y轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由．
    【答案】分析：（1）本问注意分类讨论：若k=0，函数为一次函数；若k≠0，函数为二次函数，根据其△=0求解即可；
    （2）根据反比例函数和二次函数的增减性，综合确定k应满足的条件和x的取值范围；
    （3）由题意，首先根据一元二次方程根与系数关系，求出k的值；从而得到抛物线的解析式，画出抛物线的大致图象，以AB为直径作圆，圆与y轴的两个交点即为所求之点P；最后利用相似三角形求出点P的坐标和△ABP的面积．
    解答：解：（1）若k=0，则y=-2x+是一次函数，与x轴只有一个交点，满足条件；
    若k≠0，则y=kx2-2x+（k≠0）是二次函数，
    由△=b2-4ac=4-6k=0，得k=．
    ∴k=0或．


    （2）设反比例函数解析式为：y=，
    ∵点M（1，k）在反比例函数图象上，
    ∴m=k．
    ∴y=．
    由反比例函数的性质可知，当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x≠0．
    二次函数y=kx2-2x+，抛物线开口向下，其对称轴为直线x=，
    当y随x的增大而增大时，须满足条件：k＜0，x＜．
    综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是y随x的增大而增大，须满足条件：k＜0，x＜．


    （3）存在．
    抛物线解析式为：y=kx2-2x+，
    令y=0，即kx2-2x+=0，
    ∴x1+x2=，x1x2=．
    ∵x12+x22=1，
    ∴（x1+x2）2-2x1x2=1，即：（）2-2•=1
    整理得：k2+3k-4=0，
    解得：k=-4或k=1．
    又∵抛物线与x轴有两个交点，
    ∴△=4-6k＞0，解得k＜，
    ∴k=1不符合题意，舍去，∴k=-4．
    ∴抛物线的解析式为：y=-4x2-2x+=-4（x+）2+．
    令y=0，解得x=，
    ∴A（，0），B（，0）．
    画出函数大致图象如下，则OA=，OB=，AB=．

    以AB为直径作圆，由图象可见，圆与y轴的交点有2个，因此所求的点P有两个．
    连接PA、PB，易证△PAO∽△BPO，
    ∴，
    ∴OP2=OA•OB=×=，∴OP=．
    S△ABP=AB•OP=××=．
    综上所述，存在两个满足条件的点P．点P的坐标为（0，）或（0，-），△ABP的面积为．
    点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、反比例函数、一元二次方程、根与系数关系、根的判别式、相似三角形等知识点，有一定的难度．第（1）问中，须分一次函数、二次函数进行讨论；第（3）问中，满足条件的点P有两个，容易漏解．可见分类讨论思想是本题考查重点，也是易失分点．
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    A．k≤
    1
    3
    		B．k≤
    1
    3
    且k≠0    		C．k＜
    1
    3
    		D．k＞
    1
    3

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